Całki, pochodne, różniczki



Large Visitor Globe
Całkowanie możemy określić jako sumowanie nieskończenie wielu nieskończenie małych elementów.
Przypuśćmy, że mamy funkcję y = f(x) i chcemy obliczyć pole P zawarte pomiędzy krzywą odpowiadającą tej funkcji i osią x, w zakresie od x1 do x2.
Z pewnym przybliżeniem możemy to zrobić w taki w sposób: dzielimy zakres <x1, x2> na odcinki o jakiejś szerokości Δx. Po wyznaczeniu wartości funkcji f(x) w tych punktach podziału, obliczamy pola prostokątów (pokazanych na rysunku) i ich sumę traktujemy jako przybliżoną, poszukiwaną przez nas wielkość:
P f(x1) . Δx + f(x1 + Δx) . Δx + f(x1 + 2 . Δx) . Δx + ...
= [ f(x1) + f(x1 + Δx) + f(x1 + 2.Δx) + ... ] . Δx
Oznaczając przez n ilość prostokątów, możemy to zapisać:
P    k=n-1 f(x1 + k . Δx) . Δx
Σ
k=0
Zmniejszając wielkość odcinków Δx (a tym samym zwiększając ich ilość) będziemy otrzymywać coraz dokładniejsze wartości P. Granicznym wypadkiem, gdy Δx  0 (natomiast → ∞ ), jest dokładna, szukana przez nas wartość P. Taki "zerowy" przyrost zmiennej x oznaczamy, zamiast Δx, przez różniczkę dx, a znak sumy Σ zastępujemy znakiem całki . Zapisujemy więc:
P =   X2 f(x) . dx
X1
Tu od razu uspokajam pesymistów, spodziewających się najgorszego: nie trzeba będzie obliczać pól nieskończonej ilości prostokątów. Istnieją wzory i metody obliczania całek różnego rodzaju funkcyj. Ale zanim do tego dojdziemy, najpierw o różniczkach i pochodnych.



Jak już wspomnieliśmy, "zerowy" przyrost zmiennej x oznaczamy dx i nazywamy różniczką tej zmiennej. Odpowiadającą jej zmianę drugiej zmiennej (wartości funkcji) oznaczamy odpowiednio dy. Stosunek tych różniczek nazywamy pochodną funkcji i do jej oznaczenia używamy apostrofu:
y' =  dy   =  
 lim
Δx → 0
  f(x + Δx) - f(x)
dx Δx
Patrząc na rysunek obok, widać że pochodna funkcji charakteryzuje jej pochylenie, a ściśle mówiąc równa jest tangensowi kąta nachylenia stycznej do krzywej w danym punkcie w stosunku do osi x. Jeśli funkcja w jakimś przedziale jest rosnąca, to jej pochodna, dla wartości x zawartych w tym przedziale, będzie większa od zera. Pochodna ujemna oznacza, że funkcja jest malejąca w danym obszarze. Podobnie będzie z tangensem kąta nachylenia stycznej: dla kąta mniejszego od 90° będzie on dodatni, a dla kątów większych od 90° - ujemny. Te własności pochodnej są wykorzystywane np. przy szukaniu maksimum czy minimum funkcji (zobacz "Minima i maksima funkcji").
Aby obliczyć pochodną funkcji, nie musimy szukać każdorazowo granicy ww. wyrażenia dla Δx→0. Dla różnego typu funkcji istnieją odpowiednie wzory, które pracowici ludzie wyprowadzili już przed nami.
Poniżej krótki przegląd pochodnych typowych funkcji oraz zasad ich obliczania.
Oznaczenia:
    c - dowolna stała
    u = u(x),  v = v(x) - dowolne funkcje zmiennej x
Funkcja Pochodna Uwagi
y = cy' = 0 Pochodna funkcji stałej równa jest zeru.
y = c . u y' = (c . u)' = c . u' Pochodna iloczynu stałej przez funkcję równa jest iloczynowi tej stałej przez pochodną funkcji
y = u + v y' = (u + v)' = u' + v' Pochodna sumy funkcyj równa jest sumie pochodnych
y = u . v y' = (u . v)' = u' . v + u . v' Pochodna iloczynu (nie jest już, niestety, równa iloczynowi pochodnych)
y =  u
v
y' =  u' . v - u . v'
v2
Pochodna ilorazu
y = x c y' = c . x c-1 Pochodna funkcji potęgowej. Wykładnik potęgi c może też oczywiście być np. liczbą ułamkową (oznaczającą pierwiastek) lub ujemną.
y = c x y' = c x . ln c Gdy c = e (podstawa logarytmów naturalnych):  (e x)' = ex, gdyż ln e = 1
y = logax
y' =  1  .  1
xln a
(ln x)' =  1   - pochodna logarytmu naturalnego
x
y = sin x y' = cos x
y = cos x y' = -sin x
y = tg x
y' =  1
cos2x
Pochodne (tg x)' i (ctg x)' można obliczyć korzystając z poprzednich wzorów (pochodne sin x i cos x oraz pochodna ilorazu, bo przecież tg x = sin x/cos x)
y = ctg x
y' = -  1
sin2x
 
y = arc sin x
y' =  1
(1 - x2)1/2
Pochodne funkcji cyklometrycznych
y = arc cos x
y' = -  1
(1 - x2)1/2
 
y = arc tg x
y' =  1
1 + x2
 
y = arc ctg x
y' = -  1
1 + x2
 
y = f(u)
y' = f'(u) . u' =  dy  .  du
dudx
Pochodna funkcji złożonej, np:
y = (sin x)5      y' = 5 (sin x)4  . cos x
y = sin (x5)      y' = cos (x5)
 5x4

(pochodna "funkcji zewnętrznej" pomnożona przez pochodną "funkcji wewnętrznej")

Kilka przykładów:
y = 5x3 - 7x + 2 y' = 15x2 - 7
y = (x3 + 5x)4 y' = 4 . (x3 + 5x)3 . (3x2 + 5)
y = xsinx y' = (x)' . sinx + x . (sinx)' = sinx + xcosx
y = ln(sinx)
y' = 1 . cosx = ctgx
sinx




Jak widać, z obliczaniem pochodnych nie ma większych kłopotów. Wystarczy tutaj w zasadzie zapamiętać kilka wzorów.
Po obliczeniu pierwszej pochodnej możemy obliczyć znowu pochodną otrzymanej funkcji itd. (pod warunkiem, że otrzymywana funkcja w dalszym ciągu nadaje się do tego, tzn. jest różniczkowalna). Te pochodne wyższych rzędów oznaczamy odpowiednią liczbą apostrofów, a z użyciem różniczek zapisujemy je tak:

y' = dy   y''= d2y   y''' = d3y   y(4) = d4y   itd.
dxdx2dx3dx4

Jeżeli mamy funkcję wielu zmiennych z = f(x,y) to obliczamy pochodną cząstkową względem jednej ze zmiennych. Drugą ze zmiennych (lub wszystkie pozostałe, jeśli ich jest więcej) traktujemy wtedy jako stałą, a wyniki zapisujemy tak:

fx =  ∂f , fy =  ∂f  , a pochodne drugiego rzędu:   fxx =  2f , fyy =  2f , fxy =  2f   (najpierw ze względu na x a potem ze względu na y)
∂x ∂y ∂x2 ∂y2 ∂x∂y

Pochodne cząstkowe możemy wykorzystać zamiast obliczania zwykłej pochodnej, gdy mamy do dyspozycji funkcję uwikłaną: f(x,y) = 0. Aby obliczyć pochodną y' nie musimy wtedy wyodrębniać najpierw z tej funkcji y, ale w tak obliczonej pochodnej z reguły będzie występowała też zmienna y:

y' =  dy = -  fx  = -  ∂f  :  ∂f
dx fy ∂x ∂y

Przykład:
f(x,y) = x2 + y2 - 1 = 0   (równanie okręgu)   y' = -  fx  = -  2x  = -  x
fy 2y y
Kończąc z pochodnymi, jeszcze tylko przypadek krzywej przedstawionej równaniami parametrycznymi:    x = x(t) ,   y = y(t) .
Intuicja nas nie zawiedzie, jeśli pochodną y względem x będziemy chcieli wyrazić jako iloraz pochodnych y i x względem t:
dy  =  y't  =  dy  :  dx
dx x't dt dt




Jeśli umiemy już obliczać pochodne, to możemy powrócić do całek.
Całkowanie to po prostu działanie odwrotne w stosunku do różniczkowania. Mamy pochodną funkcji i chcemy znaleźć właśnie tę funkcję:
y' =  dy   dy = y' . dx   y = ∫y' . dx
dx

Niestety, sprawa tutaj będzie trudniejsza niż przy obliczaniu pochodnych. Tam wystarczyło znać te kilka wzorów. Odkrycie natomiast, jakiej funkcji pochodną jest nasze wyrażenie podcałkowe, nie zawsze jest proste.
Pamiętając, jak obliczaliśmy pochodne, łatwo powinniśmy obliczyć np. takie całki:
y = ∫x4 dx =  x5 + c   bo y' =  1  . 5 . x4 = x4
5 5
y = ∫sinx dx = - cosx + c   y' = (-1) . (- sinx) = sinx
y = ∫ex dx = ex + c   y' = (ex + c)' = ex

Pochodna stałej, jak pamiętamy, jest równa zeru i dlatego po wyznaczeniu całki możemy dodać do niej dowolną stałą c. Całkowanie, w przeciwieństwie do różniczkowania, nie jest działaniem jednoznacznym.
Podobnie, jak przy obliczaniu pochodnych, całka sumy funkcji równa jest sumie całek. Tak samo, całka iloczynu stałej przez funkcję równa jest iloczynowi tej stałej i całki funkcji (stałą możemy wyłączyć przed znak całki).
y = ∫(u + v) dx = ∫u dx + ∫v dx
y = ∫c . f(x) dx = c . ∫f(x) dx

Ale na tym podobieństwa praktycznie się kończą.
Stosowane najczęściej metody rozwiązywania całek to całkowanie przez części i całkowanie przez podstawienie.
Przy całkowaniu przez części korzysta się ze wzoru:    ∫u dv = uv - ∫v du   (tę zależność uzyskuje się ze wzoru na pochodną iloczynu).
Przykłady:
∫lnx dx = x . lnx - ∫x d(lnx) = x . lnx - ∫x .  1 dx = x lnx - x   W tym przypadku:  u = ln x ,  v = x
x
∫x cosx dx = ∫x d(sinx) = x sinx - ∫sinx dx = x sinx + cosx u = x ,   v = sinx
Całkowanie przez części stosowane jest niekiedy kilkakrotnie, zanim uda nam się coś osiągnąć. Dotyczy to szczególnie funkcji trygonometrycznych.
Przykład całkowania przez podstawienie:
∫tgx dx = ∫ sinx dx = ∫ -1 dt = - ln |t| = - ln |cosx|   Podstawiamy tutaj  t = cosx ,
czyli  dt = d(cosx) = - sinx dx
cosx t

Istnieją techniki całkowania różnego rodzaju funkcji, ale tutaj podarujemy sobie ich omawianie.


Wróćmy teraz do tego, od czego zaczęliśmy, czyli do wyznaczenia, przy pomocy całki, pola ograniczonego przez jakąś krzywą.
Obliczamy pole zawarte między sinusoidą y = sinx i osią x, w zakresie od 0 do π (zakreskowane na rysunku).

P =  π sinx dx = (- cosx)  π = ( - cos π ) - ( - cos 0 ) = 1 + 1 = 2
 
0 0

Szukane pole równe jest 2.
Jak widzimy, wartość całki oznaczonej obliczamy odejmując jej wartość dla dolnej granicy całkowania od jej wartości dla górnej granicy. Przy rozwiązywaniu całek nieoznaczonych mogliśmy w wyniku dodać dowolną stałą c. Przy całkach oznaczonych dodanie tej stałej nic by nie zmieniło, gdyż i tak by znikła przy odejmowaniu wartości dla obydwu granic całkowania.
Takie wykorzystanie całki do obliczania pola to najprostsze z jej zastosowań. Można by powiedzieć, że całka ma "wrodzone zdolności" w tym kierunku. W innych przypadkach, niezależnie od rozwiązania samej całki, trzeba najpierw opisać zadanie odpowiednim równaniem.
Chcemy tym razem obliczyć długość L krzywej będącej wykresem jakiejś funkcji y = f(x), w zakresie od x1 do x2:
L =  x2 (suma nieskończenie wielu nieskończenie małych elementów dL)
∫ dL
x1

Patrząc na rysunek obok, możemy zapisać (na podstawie twierdzenia Pitagorasa):
(dL)2 = (dx)2 + (dy)2 ,  czyli  (dL)2 = (dx)2 + (y' . dx)2 = (dx)2 . [1 + (y')2]
dL = [ 1 + (y')2 ]1/2 . dx
Aby znaleźć szukaną długość krzywej, trzeba będzie najpierw obliczyć pochodną y' a później przypuszczalnie pomęczyć się nieco z całkowaniem funkcji, w której występuje pierwiastek kwadratowy:
L =  x2
∫ [ 1 + (y')2 ]1/2 . dx
x1
I ostatni przykład, tym razem z obliczeniem objętości bryły.
Obliczamy objętość górnej połowy kuli z rysunku obok (dla z w zakresie od 0 do R, gdzie R = promień kuli).
Dzielimy kulę na okrągłe "plasterki" prostopadłe do osi z i sumujemy ich objętości.
Objętość takiego elementarnego "plasterka" to:
dV = π r2 . dz
dz możemy tytułować nazwać jego wysokością lub grubością )

Średnica i promień "plasterka" zależy od jego położenia na osi z (z twierdzenia Pitagorasa):

r2 = R2 - z2

Mamy więc:   dV = π (R2 - z2) dz ,
a szukaną przez nas objętość połowy kuli możemy zapisać:
V =  R
π (R2 - z2) dz
0
Rozwiązanie tej całki nie powinno sprawić trudności (pamiętamy, że stałe można wyciągnąć przed znak całki, a całka sumy równa jest sumie całek):
V  =  π R2  R - π  R   =  (π R2 . z)  R    - (π
1
3
. z3 R
∫ dz ∫ z 2 dz    
0 0 0 0

Po podstawieniu z = R (wartości obydwu wyrażeń zerują się dla dolnej granicy całkowania z = 0) otrzymamy:
V = π R3
1
3
 . π R3  =  
2
3
 . π R3     czyli objętość całej bryły wynosi:  
4
3
. π R3

Widzimy więc, że w książkach nie kłamią, podając właśnie taki wzór na objętość kuli.
I tym optymistycznym stwierdzeniem kończymy.


początek strony

stat4u